Un enigma sólo para sabios...

Amilius · #1 31-05-2004

En un reino antiguo vivian dos ancianos reconocidos por su gran sabiduría, conocimiento e inteligencia. Llegó un día en que el rey quiso saber cuál de los dos ancianos era el más sabio así que decidió plantearles un acertijo. Los llamó a ambos y les dijo:

" Yo el rey, escogí dos números distintos entre el 1 y el 25 inclusive. Tienen que adivinar cuales son los números que escogí. "

Al primer sabio (Sefir) le dijo en secreto el resultado de la suma de los dos números. Al segundo (Madí) le dijo en secreto el resultado de la multiplicación de los dos números. Ambos fueron llevados a aposentos distintos y aislados totalmente del mundo y sin ninguna posibilidad de comunicación entre ellos, cada uno con bastante comida y agua. Al cabo de 2 meses ambos ancianos se dieron por vencidos y fueron ante el rey y tuvieron la siguiente conversación:

Sefir: No pude encontrar la respuesta, pero estoy seguro que tu tampoco la conoces.
Madí: Es cierto que no sabía la respuesta, pero ahora la se.
Sefir: Ahora yo también se la respuesta.

Luego cada uno por separado le dijo al rey cuales eran los números que había escogido.

¿Cuales son los dos números que escogió el rey, y como fué posible que los ancianos encontraran la respuesta?

[eduarcol] · #2 31-05-2004

No es el mismo

La señora y sus hijas

jachguate · #3 31-05-2004

Pues en el caso anterior, al menos se conocia el producto... pero ahora

haron · #4 31-05-2004

es facil.

al salir los dos ancianos de sus respectivos calabozos aparte de las palabras, se intercambiaron unos papelitos donde escribieron la suma y el producto de los jodidos numeros secretos, que los habian mantenidos aislados a pan y agua durante dos meses.

calculadora en mano, decidieron resolver el siguiente sistema:

x + y = a
x * y = b

donde "a" y "b" son numeros conocidos.
despejando la "y" tenemos

x^2 - a*x + b = 0

las dos soluciones de esta ecuacion son los numeros secretos "x" e "y".

inmediatamente se dieron cuenta de que las soluciones no eran numeros enteros, lo que quiere decir que el rey se los habia inventado al vuelo y ahora mismo se estaba descojonando de risa.

roman · #5 31-05-2004

Bueno, pero resulta que hay varias de estas ecuaciones cuyas soluciones son números enteros distintos entre 1 y 25. Dos ejemplos (entre otros)

x^2 - 10x + 21 = 0 (sol: 3, 7)
x^2 - 8x + 15 = 0 (sol: 3, 5)

// Saludos

jachguate · #6 31-05-2004

Pero vos estas asumiendo que y = 0... y no veo de donde sacas tal idea...

En todo caso la ecuación

y = x^2 - ax + b

nos describe las posibles soluciones...

roman · #7 31-05-2004

Cita:

Empezado por jachguate

Pero vos estas asumiendo que y = 0... y no veo de donde sacas tal idea...

No sé a quién te refieres pero nadie esta suponiendo que y = 0. Lo que sucede es que una ecuación de la forma

x^2 - sx + p = 0

tendrá siempre dos soluciones distintas si s^2 > 4p

jachguate · #8 31-05-2004

pero quien dice que x^2 - ax + b = 0 en este caso??

del despeje de variables hecho por haron, queda que

x^2 - ax + b = y, pero no tenemos ningun motivo para suponer que y = 0, por lo tanto, tampoco podemos suponer que x^2 - ax + b = 0, en todo caso...

x^2 - ax + (b - y) = 0...

Hasta luego.

roman · #9 31-05-2004

A ver, a ver. No nos confundamos.

haron simplemente está estableciendo un hecho conocido del álgebra:

Cualquier par de números cuya suma sea a y cuyo producto sea b serán raíces de la ecuación cuadrática:

x^2 - ax + b = 0 (*)

Demostración:

Sean g y h tales que

g + h = a (1)
gh = b (2)

despejando h de (2): h = b/g
sustituyendo h en (1): g + b/g = a (3)
multiplicando (3) por g: g^2 + b = ag
reordenando: g^2 - ag + b = 0
de donde vemos que g es raíz de (*)

Análogamente, si comenzamos despejando g de (2) llegaremos a que h es raíz de (*)

jachguate · #10 31-05-2004

ups..

un pequeño lapsus...

Amilius · #11 31-05-2004

Cita:

Empezado por roman

x^2 - ax + b = 0 (*)

Bueno ya tienen una ecuación, claro que teniendo 3 incógnitas...

Los números que escogio el rey son números enteros [1..25] si lo prefieren.

P.D.

Los ancianos NO SE PASARON PAPELITOS

, ya que sabían que lo decapitarían al menor intento. Este es un problema tanto aritmético como lógico.

Julián · #12 01-06-2004

joer, si es muy fácil, son el 1 y el 6

Amilius · #13 01-06-2004

Correcto, pero,
¿Que método usaste para encontrar la respuesta?

- Google
- Lycos
- Otro buscador: .....
- Lance unos dados
- Lo resolví personalmente (Indicar el método)

La parte más interesante del acertijo es:

¿Como fué posible que los ancianos encontraran la respuesta?

Julián · #14 01-06-2004

En el google, evidentemente

por cierto, que este acertijo es el que mas trabajo me ha costao encontrar en el google.

Si es que estando el google, ¿que merito tiene el resolver un acertijo de estos? porque... ¿quien va creer que lo he resuelto yo, pudiendolo buscar en el google? ó ¿pa que iba decir que lo he resuelto yo, si nadie me iba a creer?

.

Como dijo nosequien: "lo importante no es saber, sino tener el telefono del que sabe"

Eso, si para enigma dificil dificil, el que os he puesto en http://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=10887 , para el cual se admite como válido el uso del google o cualquier otra técnica.

¡Saludos!

haron · #15 02-06-2004

cuando Sefir le dice a su novio Madir:

"No pude encontrar la respuesta, pero estoy seguro que tu tampoco la conoces."

lo dice con mucha seguridad. creo que en el fondo le estaba desvelando algo de su propio numero.

si la suma que el conocia hubiese sido "12", por ejemplo, el producto podria ser 1*11=11 y en este caso su amante Madir conoceria la respuesta (ya que 11 es primo).

por tanto la suma no puede ser "11", ni "12", ni otros numeros. la lista se reduce.

he estado haciendo calculos y los unicos numeros que podrian ser la suma, de manera que Safir tuviese la certeza de que su compañero sentimental Madir no conocia la respuesta son:

10, 22, 16
6, 7, 9, 11, 13, 23

he seguido con el problema y a mi me sale que

o bien los numeros son "4" y "9" o son "1" y "4"

y no voy a seguir haciendo calculos porque estoy hasta los testiculos de estos ancianos y el prostituto de mi gato no para de maullar para que le eche comida. (como podeis ver, no estoy usando palabras ofensivas por si acaso hay niños cerca).

joder! julian! pasanos el link!

Amilius · #16 03-06-2004

Aqui va la respuesta completa:
Bueno. Los números son sin duda, como ya se indicó anteriormente, el 1 y el 6.

Estos son todos los pares de números que no pueden ser encontrados sólo conociendo su producto o suma. Además permiten que el sabio que conoce la suma tenga la certeza que el sabio que conoce el producto no conoce el resultado:

(1,10) S:11 M:10
(2,5) S:7 M:10
(1,12) S:13 M:12
(3,4) S:7 M:12
(2,9) S:11 M:18
(3,6) S:9 M:18
(5,6) S:11 M:30
(3,10) S:13 M:30
(2,7) S:9 M:14
(4,5) S:9 M:20
(1,8) S:9 M:8
(2,11) S:13 M:22
(4,9) S:13 M:36
(5,8) S:13 M:40
(6,7) S:13 M:42
(3,8) S:11 M:24
(4,7) S:11 M:28
(1,6) S:7 M:6

Total: 18

Todos los repetidos en la Multiplicación quedan afuera (El sabio que conoce el valor de M encontró la respuesta al escuchar la afirmación del sabio que conoce S, esto sólo es posible si el par está entre los pares con valor M único):

(2,7) S:9 M:14
(4,5) S:9 M:20
(1,8) S:9 M:8
(2,11) S:13 M:22
(4,9) S:13 M:36
(5,8) S:13 M:40
(6,7) S:13 M:42
(3,8) S:11 M:24
(4,7) S:11 M:28
(1,6) S:7 M:6

Todos los repetidos en la Suma quedan afuera (El sabio que conoce el valor de S también encontró la respuesta, luego que el sabio que conoce M la encontrara, sólo posible para pares con valor S único):

Sólo queda: (1,6) S:7 M:6

Los números originales son 1 y 6

----------

El sabio que conoce S:
======================

S=7

Posibles pares:

1+6=7 6 =1*6,2*3
2+5=7 10=1*10,2*5
3+4=7 12=1*12,2*6,3*4

Como en cada caso existe más de una combinación de factores sabe que el sabio que conoce M no pude deducir los valores originales.

El sabio que conoce M:
======================

M=6

Posibles pares:

1*6=6 7=1+6,2+5,3+4
2*3=6 5=1+4,2+3

Si analiza el caso hipotético de S=5:

1+4=5 5=1*5
2+3=5 6=1*6,2*3

El sabio que conoce M se da cuenta que existe la posibilidad que si los números son 2 y 3, el valor S sería 5 y por lo tanto el sabio que conoce el valor real de S podría pensar (caso 1,4) que el conoce la respuesta. Como el sabio que conoce el valor S afirma tajantemente que eso es imposible, sabe que de ninguna manera el par es 2,3 y sólo queda 1,6.

El sabio que conoce S=7 sabe que el único par correspondiente a esta suma y que su multiplicación no sea igual al de otros pares analizados como posibles respuestas (de los 18 iniciales) es el 1,6 es la única forma que el sabio que conoce M pudiera haber determinado la respuesta. Por lo tanto los números son 1 y 6.

roman · #17 03-06-2004

Cita:

Empezado por Amilius

(1,10) S:11 M:10
(2,5) S:7 M:10
(1,12) S:13 M:12
(3,4) S:7 M:12
(2,9) S:11 M:18
(3,6) S:9 M:18
(5,6) S:11 M:30
(3,10) S:13 M:30
(2,7) S:9 M:14
(4,5) S:9 M:20
(1,8) S:9 M:8
(2,11) S:13 M:22
(4,9) S:13 M:36
(5,8) S:13 M:40
(6,7) S:13 M:42
(3,8) S:11 M:24
(4,7) S:11 M:28
(1,6) S:7 M:6

De entrada no entiendo cómo se llega a estos 18 pares. ¿Qué permite descartar pares como (14, 15) o (20, 22)? También en estos casos tanto la suma como el producto se pueden expresar de varias formas.

haron · #18 03-06-2004

pero por dios!!!!
este es el foro de humor!

el proximo acertijo que no tenga tantos calculos, por favor.

p.d.:

se prodia plantear crear un nuevo foro llamado 'acertijos' o algo asi.

Amilius · #19 03-06-2004

Cita:

Empezado por roman

De entrada no entiendo cómo se llega a estos 18 pares. ¿Qué permite descartar pares como (14, 15) o (20, 22)? También en estos casos tanto la suma como el producto se pueden expresar de varias formas.

Esos pares son descartados por la primera afirmación: el sabio que conoce la suma tiene la certeza que el sabio que conoce el producto no conoce el resultado.
Un ejemplo particular: (Para encontrar los 18 pares tendrían que hacer esto con todos los pares posibles=hacer un programita simple)

El sabio que conoce la suma encuentra varios pares de sumandos posibles que dan 7 (1+6):

1+6=7; 1*6= 6 factores: 1*6,2*3 (2 pares)
2+5=7; 2*5=10 factores: 1*10,2*5 (2 pares)
3+4=7; 3*4=12 factores: 1*12,2*6,3*4 (3 pares)
Luego halla el producto de cada uno de los pares de números (6,10 y 12). Analiza estos productos y encuentra que no existe ningúno que sólo pueda ser resultado de multiplicar un sólo par de números. Por eso sabe que el sabio que conoce el producto tampoco pudo encontrar el resultado.

Nota: mensaje editado para aclarar el siguiente post:

roman · #20 03-06-2004

Lo siento pero entonces el razonamiento empleado para hallar la solución es incorrecto. Estás partiendo de que quien lo resuelve sabe que (1, 6) es la solución, lo cuál, de no ser por Julián, no lo sabríamos.