Lo que queres hacer es una replicación. Desconozco las capacidades de SQL Server para hacerlo automáticamente. De cualquier forma, podes llevar una bitácora de los registros que han sido agregados/modificados/eliminados del sistema, y establecer los mecanismos para aplicarlos en una base de datos remota, siempre que esta esté accesible.
Entonces, en el servidor de internet, simplemente tenes que tener corriendo SQL Server, y desde tu programa conectarte a ambas bases de datos para aplicar la(s) bitácora.
Esto puede ser medianamente complejo o muy complejo, dependiendo de las características de tu aplicación. Si ya hay alguna facilidad de la base de datos para replicarse, te recomiendo investigarla y utilizarla, pues regularmente cuenta con mecanismos mucho mas pulidos, aunque siempre se basa en el mismo principio.
Hasta luego.
