Hay dos opciones.
Una, que sería la más correcta, es que la propia web tuviera una API para consumir, tal y como comenta [pgranados].
En ese caso es sencillo utilizando GET, POST y los componentes de REST que vienen con Delphi.
Si buscas en los foros sobre
TRESTRequest,
TRESTResponse,... encontrarás muchos mensajes de cómo utilizarlos.
Si la web no disp0one de API, puedes intentar hacerlo leyendo el contenido de la página directamente. Es un método más costoso, menos seguro y menos fiable.
En ese caso puedes revisar estos hilos para tener una idea:
http://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=57647
https://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=24521
http://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=62883
https://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=66718