Normalmente puedes hacerlo utilizando las Indy y su componente TIdHttp para realizar un post a la web con los parámetros que necesites.
En este hilo/Mensaje tienes un código de [dec] que se parece bastante a lo que necesitas. Se crea el componente, se pasan los parámetros y se envían con un POST.
De todas formas si haces una búsqueda en los foros, encontrarás otros hilos que hablan de temas similares porque es algo que ya hemos tratado en otras ocasiones:
http://www.clubdelphi.com/foros/show...35&postcount=5
http://www.clubdelphi.com/foros/show...6&postcount=12
http://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=37050
https://www.clubdelphi.com/foros/showthread.php?t=72881
Y aquí un mensaje mio de hace un tiempo con una duda similar, donde puedes encontrar código y ejemplos, y la solución que otros compañeros me ayudaron a encontrar.