Para ir mostrando un conjunto de registros debes cambiar la consulta que tienes "enganchada" al DBGrid.
Ésta será la consulta inicial que te los mostraría todos, luego deberías ir modificándola a medida que el texto vaya cambiando, por ejemplo:
Código SQL
[-]
Select * from tabla where nombre like 'n%'
Para construirla desde programa será algo similara ésto (está en Delphi, pero seguro que más o menos lo entiendes).
Código Delphi
[-]
var
SQL:String;
begin
...
SQL := 'SELECT * FROM TABLA WHERE nombre LIKE ';
SQL := SQL + QuotedStr(DBEdit1.Text + '%');