Hola tiammat.
No se que cuál es la idea que tenes en mente, pero me parece que los eventos
DroppedDown y
CloseUp te tendrían que servir para detectar cuando se presionó sobre el botón ese (que no sé como se llama

) y que acción se está por realizar:
Código Delphi
[-]
const
ESTADO : array [Boolean] of string = ('CERRAR','ABRIR');
procedure TForm1.ShowAction(Action: Boolean);
begin
ShowMessage(Format('Click! Acción: %s',[ESTADO[Action]]));
end;
procedure TForm1.DateTimePicker1DropDown(Sender: TObject);
begin
ShowAction(DateTimePicker1.DroppedDown);
end;
procedure TForm1.DateTimePicker1CloseUp(Sender: TObject);
begin
ShowAction(DateTimePicker1.DroppedDown);
end;
Si no te sirve de ese modo comentanos un poco mas y vamos a intentar otra cosa.
Saludos.
