Geometría: posición relativa de un punto respecto a una línea.

[roman]

No me queda claro el problema. Una recta se determina por sólo dos puntos, de manera que hablar de n puntos que determinen una recta suena raro.

Por otra parte, la derecha e izquierda de una recta son conceptos relativos a la dirección en la que recorres la recta, así que primero hay que establecer un vector de dirección de la recta. Si tienes dos puntos P0 y P1 de la recta, el vector P1 - P0 es el vector que va de P0 a P1.

Necesitas un vector ortogonal a la recta que apunte hacia la izquierda de ésta, y este sería, si no me equivoco, Q=(-(y1-y0), x1-x0), suponiendo que P0=(x0,y0) y P1=(x1,y1).

Ya con esto, y nuevamente si no me equivoco porque la geometría analítica la tengo totalmente oxidada, dado un punto P=(x,y), para determinar si está a la izquierda o derecha de la recta dirigida, debes tomar su producto escalar (trasladando al origen) con el vector ortogonal:

(P-P0)*Q

El valor de este producto es

0 si el punto está sobre la recta
>0 si el punto está a la izquierda de la recta
<0 si el punto está a la derecha de la recta

// Saludos

[jplj]

Creo que no he expresado bien el problema.

• La posición la quiero saber respecto a una línea -no una recta- arbitraria como pudiera ser la definida por una línea electrica de alta tensión. El trazado podría ser más sinuoso.
• Los puntos -en coordenadas cartesianas- son indeterminados, aunque no creo que en la práctica llegen a 100.
• Por último, para poder obtener la posición relativa del punto dado, el usuario deberá determinar un punto de referencia/observación e introducir los puntos que designan la línea de izquierda a derecha respecto a este punto.

[jplj]

Por si pudiera interesar, la solucion que he implementado es la siguiente:

Siendo:

.- True -> Dentro / Detrás / Derecha
.- False -> Fuera / Delante / Izquiera

Código Delphi [-]

TMc_Punto = record
  x: double;
  y: double;
end;
TMc_Lista_Puntos = array of TMC_Punto;


function Posicion_relativa(Puntos_Zona: TMc_Lista_Puntos;
                             Punto: TMC_Punto): Boolean;
function Convert_LineaToZona(Puntos_Linea: TMc_Lista_Puntos;
                     Fondo: Integer; Lado: Boolean): TMc_Lista_Puntos;overload;
function Convert_LineaToZona(Puntos_Linea: TMc_Lista_Puntos;
                               Lado: Boolean): TMc_Lista_Puntos;overload;


////////////////////////// Control zona poligonal ///////////////////////////
//                                                                         //
//  Permite evaluar un punto para saber si está dentro de una zona         //
//    poligonal dada.                                                      //
//                                                                         //
//  La zona está marcada por los vértices que vienen dados por FPuntos,    //
//    que es un array dinámico de un registro con dos variables (x, y).    //
//                                                                         //
//  El punto a evaluar que se debe pasar a la función es un registro de    //
//    dos variables (x, y).                                                //
//                                                                         //
//    Desarrollo:                                                          //
//      - Se toman vectores desde el punto a evaluar y cada uno de los     //
//         vertices del polígono.                                          //
//      - Obtenemos el signo del producto vectorial de cada vector y el    //
//         siguiente.                                                      //
//      - Se calcula el ángulo entre un vector y el siguiente.             //
//      - Se suman todos los ángulos (si el signo del producto vectorial   //
//         es negativo, el ángulo a sumar es negativo.                     //
//      - Por último se comprueba si la suma da un valor próximo a Pi(está //
//         dentro) o próximo a cero (fuera).                               //
//                                                                         //
//  La función devuelve 'true' si el punto está dentro y 'false' si no.    //
//                                                                         //
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
function Posicion_relativa(Puntos_Zona: TMc_Lista_Puntos;
                           Punto: TMC_Punto): Boolean;
var
  vector: TMc_Lista_Puntos;
  difAngulo: array of double;
  situac: boolean;
  i, h, vertice: integer;
  d, m, c, v, anguloTotal: double;
  moduloV1: double;
  moduloV2: double;
  prodVectSigno: double;
begin
  anguloTotal := 0;
  vertice := 0;
  for i := 0 to Length(Puntos_Zona) - 1 do //bucle igual al número de vértices.
  begin
    h:= i+1;
    if h > Length(Puntos_Zona) - 1 then h:= 0;
      if i = 0 then
      begin
        SetLength(vector, Length(vector) + 1); // ampliamos el array.
        vector[i].x := Puntos_Zona[i].x - punto.x; // creamos un vector entre el punto a evaluar y el primer vértice.
        vector[i].y := Puntos_Zona[i].y - punto.y;
      end;

      if (i >= 0) and (i < Length(Puntos_Zona) - 1) then
      begin
        Setlength(vector, Length(vector) + 1); // ampliamos el array.
        Setlength(difAngulo, Length(difAngulo) + 1); // ampliamos el array.
        vector[h].x := Puntos_Zona[h].x - punto.x; // creamos un vector entre el punto a evaluar y el segundo vértice.
        vector[h].y := Puntos_Zona[h].y - punto.y; // idem pero para la coordenada "y".
      end;

      if ((vector[i].x = 0) and (vector[i].y = 0)) or ((vector[h].x = 0) and (vector[h].y = 0)) then vertice := 1 // si el punto a evaluar coincide con un vector directamente se devuelve "dentro" para evitar una indeterminación de 0/0.
      else
      begin
        prodVectSigno := (vector[i].x * vector[h].y) - (vector[i].y * vector[h].x); // calcula el signo del producto vectorial de un vector y el siguiente.
        moduloV1 := Sqrt(Power(vector[i].x, 2) + Power(vector[i].y, 2)); // calcula el módulo del primer vector.
        moduloV2 := Sqrt(Power(vector[h].x, 2) + Power(vector[h].y, 2)); // calcula el módulo del segundo.

        v:= (vector[i].x * vector[h].x + vector[i].y * vector[h].y); // se calcula el producto escalar del primer y segundo vector.
        m:= (moduloV1 * moduloV2);
        c:= v/m; // para hallar el coseno del ángulo entre dos vectores, se divide el producto escalar entre el producto de sus módulos.

        if (c > 1) or (c < -1) then // acotamos el coseno del ángulo entre -1 y 1 para evitar errores.
        begin
          c:= Int(c)
        end;

        d:= ArcCos( c ); // calculamos el ángulo entre dos vectores consecutivos.
        if prodVectSigno > 0 then difAngulo[i] := d else difAngulo[i] := -d; // damos el signo del producto vectorial al ángulo.

       anguloTotal := anguloTotal + difAngulo[i]; // vamos sumando o restando los angulos de cada par de vectores consecutivos.
       Setlength(difAngulo, length(difAngulo) + 1); // ampliamos el array.
    end;
  end;
  if vertice = 1 then situac := true
  else
  begin
    if Abs(anguloTotal) < 3 then situac := false // si la suma total de ángulos tiende a 0, devuelve false.
      else situac := true; // si la suma total de ángulos tiende a Pi, devuelve true.
  end;
  result := situac;
end;

////////////////////////// Control Línea /////////////////////////
{                                                                           
  Amplia con dos puntos un array de puntos que define una línea para obte- 
  ner un array que define una zona.                                        
                                                                           
  Los dos puntos que nuevos serán perpendiculares a la linea que une el
  punto inicial y final de la línea.
           (b)                         (c)
           o--------------------------o
          /                           |
          |                           |
          |                           |
         /                            |
         |                            |
         --o--------------------------o
           (a)                          (d)

 Dada la línea a-b y en el caso de querer determinar los puntos que se encuen-
 tren a la izquierda de ella, se obtiene los puntos d y c perpendiculares a la
 recta que une a y b y se incluyen al incicio (punto p) y al final (punto c) del
 array de puntos que definen línea a-b, de tal forma que ahora tenermos un
 array de puntos que definen una zona que será tratada en la función:
  .- Posicion_relativa

 Fondo: distancia a-d
 Lado:
    .- true: derecha
    .- false: izquierda

}                                          
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
function Convert_LineaToZona(Puntos_Linea: TMc_Lista_Puntos;
                              Fondo: Integer; Lado: Boolean): TMc_Lista_Puntos;

  //----------------------------------------------------------------------------
  ////////////////////// Función Desplazamiento //////////////////////////
  //                                                                    //
  //  Sea una recta r que pasa por los puntos O y P.                    //
  //                                                                    //
  //  Dado un punto origen O(X, Y), otro destino P(X1, Y1) y los        //
  //  desplazamientos L1 [paralelo a r] y L2 [perpendicular a r] con    //
  //  respecto a P, devuelve un array con las cordenadas (x, y) del     //
  //  punto desplazado.                                                 //
  //                                                                    //
  ////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  function Desplazam(X, Y, X1, Y1, L1, L2: double): TMC_Punto;
  var
    Ang: double;
    sAng, cAng: double;
    coordDesp: TMC_Punto;
  begin
    Ang := arctan2(X1 - X, Y1 - Y);
    cAng := cos(Ang);
    sAng := sin(Ang);
    coordDesp.x := X1 + (sAng * (L1) + cAng * (L2));
    coordDesp.y := Y1 + (cAng * (L1) - sAng * (L2));
    result := coordDesp;

var
  //se emplea para guardar la línea de coordinación más los puntos a izquierda o derecha una distancia Fondo.
  FPuntos_Zona: TMc_Lista_Puntos;
  FPoint: TMC_Punto;
  dist: Double;
  i: Integer;
begin
   //Calcula la distandia de la recta que une el primer y último punto de la línea de coordinación.
   dist := Sqrt(Power(Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea)-1].x - Puntos_Linea[0].x, 2)
            + Power(Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea)-1].y - Puntos_Linea[0].y, 2));

   //amplia el array FPuntos_Zona a dos más que FPuntos.
   SetLength(FPuntos_Zona, Length(Puntos_Linea) + 2);
   if not Lado then
   begin
     FPoint := Desplazam(Puntos_Linea[0].x, Puntos_Linea[0].y,
                Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].x,
                Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].y, -dist, Fondo);
     FPuntos_Zona[0].x := Round(FPoint.x);
     FPuntos_Zona[0].y := Round(FPoint.y);
     for i := 1 to Length(Puntos_Linea) do FPuntos_Zona[i] := Puntos_Linea[i-1];
     FPoint := Desplazam(Puntos_Linea[0].x, Puntos_Linea[0].y,
                  Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].x,
                  Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].y, 0, Fondo);
     FPuntos_Zona[Length(FPuntos_Zona) - 1].x := Round(FPoint.x);
     FPuntos_Zona[Length(FPuntos_Zona) - 1].y := Round(FPoint.y);
   end
   else
   begin
     FPoint := Desplazam(Puntos_Linea[0].x, Puntos_Linea[0].y,
                Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].x,
                Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].y, -dist, -Fondo);
     FPuntos_Zona[0].x := Round(FPoint.x);
     FPuntos_Zona[0].y := Round(FPoint.y);
     for i := 1 to Length(Puntos_Linea) do FPuntos_Zona[i] := Puntos_Linea[i-1];
     FPoint := Desplazam(Puntos_Linea[0].x, Puntos_Linea[0].y,
                        Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].x,
                        Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea) - 1].y, 0, -Fondo);
     FPuntos_Zona[Length(FPuntos_Zona) - 1].x := Round(FPoint.x);
     FPuntos_Zona[Length(FPuntos_Zona) - 1].y := Round(FPoint.y);
   end;
   Result:= FPuntos_Zona;
end;
//------------------------------------------------------------------------------
function Convert_LineaToZona(Puntos_Linea: TMc_Lista_Puntos;
                              Lado: Boolean): TMc_Lista_Puntos;
var
  dist: Double;
begin
  dist := Sqrt(Power(Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea)-1].x - Puntos_Linea[0].x, 2)
            + Power(Puntos_Linea[Length(Puntos_Linea)-1].y - Puntos_Linea[0].y, 2));
  Result:= Convert_LineaToZona(Puntos_Linea, Round(dist*50), lado);
end;

Por último para usarlas:

Código Delphi [-]

Siendo:
.- FPuntos un array of TMC_Punto que contiene los puntos que definen la línea o bien una zona poliongal 
.- Punto el punto a evaluar
.- FValorCorrecto: el valor correcto esperado de la evaluación.


function TMc_Ctrl_ZonaPoligonal.Situacion(punto: TMC_Punto): Boolean;
begin
  Result:= Posicion_relativa(FPuntos, punto);
end;

function TMc_Ctrl_Lineal.Situacion(punto: TMC_Punto): Boolean;
var
  FPuntos_Zona: TMc_Lista_Puntos;
begin
    FPuntos_Zona:= Convert_LineaToZona(FPuntos, FValorCorrecto);
    if Posicion_relativa(FPuntos_Zona, punto) then
      Result:= FValorCorrecto
    else
      Result:= not FValorCorrecto;
end;