Como evitar que mis aplicaciones se "cuelguen"

[paladincubano]

Para evitar eso. Usa como bien te dicen el

Application.ProcessMessage;

Ahora, cuando usas el CopyFile, si son muchos ficheros en un ciclo, pones esa instruccion dentro del ciclo y puedes hasta usar un progressBar, peroooooooo, si el archivo es muy grande, veras la misma sensacion de cuelgue porque dentro del Procedimiento CopyFile no hacen ese procedimiento. Para evitar eso creo que deberias hacer tu mismo un copyfile, hay miles de ejemplo de como copiar ficheros uno mismo. (Para mi es mejor porque lo controlo todo desde el mismo programa y manejo mucho mejor el progressbar)
Suerte.