[Casimiro Noteví]

No te compliques demasiado: Delphi 2005 sí puede trabajar con APIs REST, aunque sea antiguo.
La clave es entender que una API normalmente es simplemente:

• hacer peticiones HTTP (GET, POST, PUT, DELETE…)
• enviar/recibir JSON
• gestionar autenticación (tokens, API keys, JWT, etc.)

Indy sirve perfectamente para eso y en Delphi 2005 será de lo más habitual.
Por ejemplo:

• TIdHTTP → para hacer las peticiones
• TStringStream → para enviar JSON en POST
• alguna librería JSON compatible con D2005 → para parsear respuestas

El problema normalmente no es el GET, sino el POST:

• headers incorrectos
• Content-Type
• codificación UTF-8
• SSL/TLS moderno
• formato JSON mal enviado

Ejemplo muy básico de POST con Indy:

Código Delphi [-]
uses IdHTTP, Classes;

var Http: TIdHTTP; 
Datos: TStringStream; 
Respuesta: string; 
begin 
  Http := TIdHTTP.Create(nil); 
  Datos := TStringStream.Create('{"usuario":"test"}'); 
  try 
    Http.Request.ContentType := 'application/json'; 
    Respuesta := Http.Post( 'https://api.midominio.com/login', Datos ); 
    ShowMessage(Respuesta); 
  finally 
    Datos.Free; 
    Http.Free; 
  end; 
end;

Luego ya vienen las complicaciones reales:

• HTTPS moderno (TLS 1.2)
• tokens Bearer
• certificados
• OAuth
• compresión gzip
• parseo JSON

Ahí es donde Delphi 2005 empieza a sufrir por antiguo.
Si vais a hacer muchas aplicaciones de escritorio conectadas a vuestra web, quizá os compense:

• usar una API REST bien definida
• migrar a una versión más moderna de Delphi
• o usar una librería REST ya preparada

Porque hoy en día casi todo funciona con JSON + HTTPS + JWT y Delphi 2005 no nació pensando en eso.
Mi consejo:

1. primero consigue hacer un GET simple a una API pública
2. luego un POST simple
3. después añade autenticación
4. y finalmente integra vuestra API real

Y para probar la API antes de programar:

• Postman
• Insomnia
• Bruno
• curl

Eso ayuda muchísimo para saber si el problema es Delphi o la API.