Sin saber el generador de informe que usas es difícil, pero así a voz de pronto, yo crearía un parámetro donde le mandas el string.
Código Delphi
[-]
var copias : array [0..2] of string = ('Original', 'Duplicado', 'Triplicado')
...
procedure Imprime;
begin
for i:= low(copias) to high(copias)
begin
report.paramsbyname('copia').AsString := copias[i];
report.print;
end;
El truco estaría en no mostrar progreso mientras se imprime (así no sale el cartelito con la barra de progreso), Tampoco usarías presentación preliminar, simplemente envías a imprimir en segundo plano. Si lo quieres bien, puedes mostrar tu propia ventana que muestre una barra de progreso total.
Saludos