Hola amigo, lo que necesitas es, si es una red pequeña y con ip fija, sustituir la palabra "localhost", por la direccion ip que tiene la maquina que tiene el servidor, asi el conector ODBC, sabra que tiene que buscar en esa direccion ip la base de datos que deseas usar.
Debes tener en cuenta que, la maquina que tiene el servidor, debe dar permisos a los usuarios que anteriormente debiste haber hecho en forma local en la pc que tiene la base de datos, te recomiendo uses mysql-administrator, desde alli puedes establecer esos permisos que necesitas.
Otra cosa, tu pc, seguramente tiene habilitado el firewall de windows, debes crear una excepción y declarar que se permitan conexiones a tu pc por este servicio a travez de enlaces externos como lo es la red. Recuerda que es al servicio y no al programa que tendra acceso, por el momento no recuerdo el nombre, lo que si es que es por el puerto 3306.
Esperando haberte encaminado, me despido de ti con un gran saludo...
