No conozco MySQL, pero supongo que tendrá alguna herramienta para hacer el backup.
Yo trabajo con Firebird. Esta BBDD lleva una herramienta llamada gbak (gbak.exe en Windows).
Desde Delphi puedes llamarla con la instruccion ShellExecute(param...). Esto emula el hacerlo desde la línea de comandos.
Código:
gbak -t BaseDeDatos.FDB BaseBackup_DiaDeLaSemana.FBK
De todos modos, la forma en que yo hago los backups es:
- en Windows, mediante las "Tareas Programadas"
- en Linux utilizando el fichero crontab, para agregarle tareas a horas determinadas.
Esto evita tener tu aplicación ejecutándose las 24 horas del día.