Hola,
Código Delphi
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SQL.add('UPDATE PASSWORDS SET Status_Password = ''0'' where Status_Password = ''1''');
Fíjate que cuando se quiere incluir en una cadena (que en Delphi se presentan entre comillas simples) el propio símbolo de las comillas simples, esto puede hacerse duplicando dicho símbolo, para que Delphi lo tome como tal y no como el "final de una cadena".