Entiendo que lo que quieres es manejar los Sockets usando solo funciones de la API. Esto no es nada sencillo, muchas lineas de codigo para hacer lo mismo que se consigue soltando un simple componente en nuestro formulario, ¿no puedes usar ni siquiera los que vienen con delphi?
De todas formas en
este otro hilo deje un ejemplo de como usar Sockets utilizando solo funciones de la API, es intencionadamente sencillo, si quieres algo mas complejo puedes echarle un vistazo a
este otro hilo donde deje un ejemplo de como montar un servidor web usando solo la API. Y si con eso no te llega busca informacion sobre sockets pero para C, encontraras mas ejemplos que para delphi.