[Angel.Matilla]

Bueno. Después de muchas idas y venidas he instalado los componentes de Indy 10, descargados desde https://indy.fulgan.com/ZIP/Indy10_5359.zip (vienen con el instalador para todas las versiones de Builder y Delphi). He modificado el código de la siguiente forma:

IdMessage1->From->Address = "administracion-socios@internautas.org";   //Remitente
IdMessage1->Subject = "Prueba de envío";
IdMessage1->Body->SetText("Esto es una prueba.");
IdMessage1->Recipients->Add();
IdMessage1->Recipients->EMailAddresses = "angelmatillacandas@gmail.com";      //Destinatario

IdSSLIOHandlerSocketOpenSSL1->PassThrough = true;
IdSMTP1->IOHandler = IdSSLIOHandlerSocketOpenSSL1;
IdSMTP1->Username                  = "<usuario>";
IdSMTP1->Password                  = "<clave>";
IdSMTP1->Host                      = "mail.internautas.org";
IdSMTP1->AuthType                  = satDefault;
IdSMTP1->Port                      = 25;
IdSMTP1->Connect();
IdSMTP1->SendCmd("STARTTLS");
IdSSLIOHandlerSocketOpenSSL1->PassThrough = false;
IdSMTP1->Authenticate();
IdSMTP1->Send(IdMessage1);

Ahora el error que se muestra es este otro:

Y en la carpeta del ejecutable están las librerías SSL