Usar el evento OnHint, esta bien siempre y cuando quieras que se copia cuando se muetra el hint, con onMouseMove podes copiar el Hint aun cuando la propiedad ShowHint este en false. Depende de lo que necesites.
El tema de porque no aparece el evente OnMouseMove en el ComboBox, es simplemente porque no lo publicaron cuando hicieron el diseño del componente, porque no lo publicaron ... no lo se.
Pero podes solucionarlo facilmente diseñando un componente que derive de TCustomComboBox y lo publique.
Seria mejor que esto lo pongas en un hilo por separado porque es otra pregunta.
Suerte