Neftali tiene toda la razón respecto al uso de la 'base de datos' por parte de varios usuarios. Concretamente Neftali tiene una serie de
artículos (excelentes) para el uso de capas intermedias para hacer de intermediarias entre una base de datos y un cliente REST que las consuma, que hoy por hoy es lo más viable.
Con este método, puedes usar un servidor gratuito (que no hay ninguno que tenga las bbdd 'abiertas' por cuestiones de seguridad), crear la bbdd en mysql (con Navicat, puedes importar directamente desde access), crear la capa intermedia para el servicio REST (es muy fácil adaptar los ejemplos de Neftali) y luego desde tu aplicación, con los componentes REST accede a los datos, esta es la opción más barata.
Otra opción es la usar un BackEnd / Baas, tal como Kinvey, Parse o BaasBox. Para estos menesteres estoy creando una serie de
artículos / tutoriales para adaptar Delphi a PARSE SERVER, la versión Open Source de PARSE (que cierra sus puertas en enero del 2017), ademas de usar Delphi con otros backends (gratuitos) como BaasBox.
Voy subiendo material conforme el trabajo me lo permite, pero cada 2-3 días hay un artículo nuevo sobre el uso de estos backend.
No recuerdo haber visto ningún componente para acceder a ADO desde android en Delphi, aun así, no descarto que exista o que vaya en suites como
AnyDAC. Para eso deberías buscar un servidor basado en windows (imprescindible para usar ADO o MSSQL Server), y no creo que encuentres muchos gratuitos.
Mi consejo es o bien usar REST como explica Neftali en sus
tutoriales o bien usar un BackEnd como humildemente explico yo en los
mios.