[jhonalone]

¡¡CONFIRMADO!!
Con estos cambios en el código me deja leer el logo bmp que está en la carpeta Pictures.
Las restricciones que comentaba antes son ciertas.

Código Delphi [-]
// Si concedió los permisos o si es una versión anterior a la 13  continuamos...
 DataFile := TPath.Combine(TPath.GetSharedPicturesPath, 'Icono144x144.bmp');
  DataFile2 := TPath.Combine(DirSDCard,'Icono144x144.bmp');
 Fichero.Copy( Datafile2, DataFile,True);
  Sleep(5000);
  DataFile := TPath.Combine(TPath.GetSharedPicturesPath, 'Icono144x144.bmp');
  if not FileExists(DataFile)
  then begin
       Mensaje('No se encuentra el fichero "Icono144x144.bmp" en la carpeta "Pictures" de su dispositivo.', 0);
       exit;
       end
  else begin
         Edit1.Text := 'Icono144x144.bmp';
     //    try  // Comentando try para ver el error
           MiMap := FMX.Graphics.TBitmap.Create();
           MiMap.LoadFromFile(DataFile); // Aquí está el error "Acceso denegado"
     //    except
         {     begin
               Mensaje('No se puede leer el archivo "Icono144x144.bmp" o tiene un formato erróneo.', 0);
               MiMap.Free;
               Exit;
              end;      }
     //    end; //try

Aqui está la explicación de lo que yo sospechaba, y ha quedado demostrada.
Lo que no sé es porqué si yo he solicitado el permiso MANAGE_EXTERNAL_STORAGE y ha sido concedido, no me permite el acceso.
No sé cómo resolver este problema.
VAMOS A TENER QUE DEJAR DE SUBIR APP'S A PLAY STORE Y DESARROLLARLAS PARA ANDROID.
NO ES POSIBLE QUE TODOS LOS AÑOS TENGAS QUE JUGAR CON UNAS REGLAS DE JUEGO NUEVAS.
¡¡ Y TENGAS QUE MODIFICAR LAS APP'S CADA AÑO !!
Saludos.