[barrauda]

Hola, muchas gracias a todos, he usado la función Pos que me recomendó el tocayo Davis Esperalta y funcionó al pelo. Muchas gracias a ambos por su ayuda.
Pongo acá el código para que otros puedan tenerlo también

Código Delphi [-]
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
var i:integer;
begin

   for i:=0 to (memo1.Lines.Count-1)do
      begin
         if pos('Firefox',memo1.Lines[i])>0 then
            begin
            showmessage(memo1.lines[i]);
            memo2.Lines.Add(memo1.Lines[i]);
            end

      end;
end;

Cabe aclarar que donde está el showmessage o el paso de la línea del primer memo al segundo, se puede poner la acción que se quiera. Este es un caso de ejemplo sólamente.