[aposi]

Hola,
vamos a centrarnos en el primer for:

tu tienes

Código Delphi [-]
Memo1.Visible:=true;
nom := EdNom.Text;
linea := '';
cant := 0;
for i:=1 to length(nom) do begin // te falta el begin, sin el el case solo se ejecuta una vez       
      if nom[i] in ['A','E','I','O','U','a','e','i','o','u'] then begin
          linea := linea + nom[i] +' ';
          cant := cant + 1;
       end;
       case uppercase(nom[i]) of // Con el uppecase conviertes la letra a mayusculas y el case actua tanto en maysculas y minusculas
           'A':cont:=1;
           'E':cont:=5;
           'I':cont:=9;
           'O':cont:=6;
           'U':cont:=3;
       end;
end;  // End del for
Memo1.clear;   
 Memo1.Lines.add('Su nombre contiene las vocales');    
Memo1.Lines.Add(linea);    
Memo1.Lines.Add('Total de vocales= '+ IntToStr(Cant));

A partir de aqui mira que es lo que te falla