[[Chris]]

El código que has colocado está mal,

Código Delphi [-]
procedure TFunidades.Button1Click(Sender: TObject);
var
   s:String;
begin
  s:='';
  //seleccionamos el campo activo o inactivo
  if RadioGroup1.ItemIndex = 0 then
       s:= 'A'
  else
       s:= 'I';
  DBactivo.Text:=s;
  
//aqui se guarda en la base de datos
  Tunidades.Edit;
  Tunidades.Post;
  Tunidades.Insert;
  Tunidades.Edit;

   //aqui estoy tratando de usignar datos a la base de datos, a parte de los datos que se asignan en el form
  
   Tunidades.FieldByName('fecha_registro').Value:=DateToStr(Date);
   Tunidades.FieldByName('fecha_modificacion').Value:=DateToStr(Date);
   Tunidades.FieldByName('usuario_registro').Value:=usuario;
   Tunidades.FieldByName('usuario_modificacion').Value:=usuario;}


  //conteo para llevar el codigo de la unidades contabilizado
  conteo:=conteo + 1;
  Tunidades.FieldByName('cod_unidad').Value:=conteo;

   DBedit2.SetFocus;

  showmessage('El registro se guardo satisfactoriamente');

end;

Antes de mostrar el mensaje que "los registros se han guardado satisfactoriamente"
primero debes de llamar a POST.

debería de quedarte algo así

Código Delphi [-]
procedure TFunidades.Button1Click(Sender: TObject);
var
   s:String;
begin
  s:='';
  //seleccionamos el campo activo o inactivo
  if RadioGroup1.ItemIndex = 0 then
       s:= 'A'
  else
       s:= 'I';
  DBactivo.Text:=s;
  
//aqui se guarda en la base de datos
{Primero, debes de saber lo que quieres hacer, si es
MODIFICAR o AGREGAR un registro}

// si quieres modificar un registro, con esto es suficiente.
  Tunidades.Edit;

// si quieres agregar un nuevo registro, este sería el código:
  TUnidades.Insert;

   //aqui estoy tratando de usignar datos a la base de datos, a parte de los datos que se asignan en el form
  
   Tunidades.FieldByName('fecha_registro').Value:=DateToStr(Date);
   Tunidades.FieldByName('fecha_modificacion').Value:=DateToStr(Date);
   Tunidades.FieldByName('usuario_registro').Value:=usuario;
   Tunidades.FieldByName('usuario_modificacion').Value:=usuario;}


  //conteo para llevar el codigo de la unidades contabilizado
  conteo:=conteo + 1;
  Tunidades.FieldByName('cod_unidad').Value:=conteo;

  // con está línea guardas los cambios realizados
  TUnidades.Post;
  // si no pones la última línea, los cambios simplemente no serán guardados.
DBedit2.SetFocus;

  showmessage('El registro se guardo satisfactoriamente');

end;