Hola,
Una cosa es abrir el cuadro de diálogo que permita a los usuarios escoger un archivo, y otra copiarlo. Mediante el diálogo "TOpenFile" puedes dar a elegir la ruta del archivo a copiar, y con el diálogo "TSaveFile" podrá determinarse la ruta del archivo de destino. Sin embargo, al final tendrás que usar una función como "CopyFile()" o "CopyFileEx()", una vez tengas las rutas de origen y de destino. Si tienes alguna duda hazla saber.
