Hola isaacrg, puedes definirte una variable Contador, inicializas en 0 e incrementas cada ves que presiones en el boton:
Código Delphi
[-]
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
StringGrid1.Cells[0,Cont] := Edit1.Text;
Inc(Cont);
end;
Saluditos