Hola. Como dice ecfisa, debes asegurarte que la ruta es igual en ambos casos.
Código Delphi
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var linea_mysqldump, ruta : String;
begin
ruta := SysUtils.IncludeTrailingPathDelimiter(ExtractFilePath(Application.ExeName));
showmessage(ruta);
linea_mysqldump := '/c "'+ruta+'Data\bin\mysqldump.exe" --opt --user=root --password=holaroot mibase > "'+ruta+'Backups\back.sql" ';
showmessage(linea_mysqldump);
ShellExecute(handle,'open', 'cmd.exe', PChar(linea_mysqldump), nil, SW_HIDE);
Si no funciona, usa el debug de Delphi y comprueba el valor de la variable
ruta y el de la variable
linea_mysqldump