Señores, he encontrado el problema!
Después de restaurar el sistema seleccionando un punto de restauración de dos meses atrás, mi aplicación no tuvo problema alguno. Luego hice la siguiente actualización:
Actualización de seguridad acumulativa para Internet Explorer 7 para Windows XP (KB928090)
El sistema empezó a fallar nuevamente. Hice varias pruebas, restauraciones, etc. Y finalmente actualicé el sistema seleccionando todas las actualizaciones disponibles, excepto la mencionada arriba. Mi aplicación funciona muy bien.
Conclusión:
La actualización mencionada jode las aplicaciones desarrolladas con Delphi que usan el BDE. Ni siquiera desde Delphi se puede hacer una conexión cuando otra aplicación que use el BDE ya se ha iniciado.
Qué hacemos con Microsoft y sus actualizaciones? 
Bueno, en realidad pienso que este hilo debería continuar abierto. Las preguntas ahora son:
¿Qué hace la actualización KB928090 para el Internet Explorer 7, que causa problemas relacionados en el BDE?
¿Cómo puedo desinstalar únicamente la actualización KB928090 para el Internet Explorer 7?
¿Tendremos problemas serios si nuestro clientes actualizan el Internet Explorer 7?
Espero lastimosamente no estar equivocándome. Si no me equivoco creo que deberíamos comunicar esto a CodeGear. Esperaré un tiempo prudencial para realizar un par de pruebas más, y luego buscaré la forma ... !