[[duilioisola]]

Veo que en medio del cálculo y escritura al fichero vas rellenando un TStringGrid (form1.stringgrid7).
recorres 8784 ficheros
1 Agregas 4 filas con con las 4 primeras columnas rellenadas con datos que lees.
2 Agregas tantas columnas como filas tenga el fichero
3 Escribes la tercera línea insertada al fichero de texto.

Esto genera un StringGrid enorme (8784 lineas x Tantas columnas como el fichero más grande leido(3600)).
8.784 x 3.600 = 31.622.400 celdas
Parece que todos contienen número convertidos a texto (aparentemente de 4 dígitos de máximo.)
Sin contar datos para la estructura (punteros, RTTI, y otros datos de control de StringGrid) tienes en memoria 126.489.600 bytes

Si no me he equivocado en las cuentas tienes 126 MB de memoria ocupada por el StringGrid.

Dado que no creo que estés mostrando el progreso en pantalla mediante el StringGrid, supongo que lo mas sensato es no utilizarlo y hacer algo mucho mas simple
He comentado el codigo a reemplazar, pero he dejado la parte donde rellenas las primeras 4 columnas del StringGrid con datos del fichero importado.
8.784 x 4 x 4bytes = 140.544 bytes (140 KB)

Código Delphi [-]
procedure lector;
var
  i, j : integer;
  milista : TStringList;
  // listafinal : TStringList;
  s, aux : string;
  F : TextFile;
  FileName : string;
begin
  // listafinal := TStringList.Create;
  // Abro el fichero destino
  FileName :=   dirE + 'final.txt';
  AssignFile(F, FileName);
  try
    // Si existe lo reescribo
    Rewrite(F);
    
    milista := TStringList.Create;
    try
      for i  :=  0 to form1.CheckListBox1.Count-1 do begin
        Application.ProcessMessages;
        
        if form1.CheckListBox1.Checked[i] then begin
          milista.LoadFromFile(form1.CheckListBox1.Items[i]);
          
          form1.stringgrid7.Cells[0, i+3] := inttostr(i+1);
          s := ExtractFileName(form1.checklistbox1.items.Strings[i]); 
          form1.stringgrid7.Cells[1, i+3] := copy(s, 0, 4);
          form1.stringgrid7.Cells[2, i+3] := inttostr(Juliana(copy(s, 0, 13)));
          form1.stringgrid7.Cells[3, i+3] := copy(s, 14, 4);
          form1.stringgrid7.rowCount := i+4;
          
          {
          for j := 4 to milista.Count-3 do begin
            if i=0 then begin // pongo los encabezados de tabla
              form1.stringgrid7.colCount := j+1;
              form1.stringgrid7.Cells[j, 0] := inttostr(j-3-numX*trunc((j-4)/numX));
              form1.stringgrid7.Cells[j, 1] := inttostr( trunc((j-4)/numY)+1 );
              form1.stringgrid7.Cells[j, 2] := inttostr(j-3);
            end;
            
            form1.stringgrid7.Cells[j, i+3] := copy(milista.Strings[j+2], 28, 10);
          end;

          form1.stringgrid7.Rows[i+3].Delimiter := ' ';
          // listafinal.Add(form1.stringgrid7.Rows[i+3].DelimitedText);          
          // Escribo la linea en el fichero destino
          WriteLn(F, form1.stringgrid7.Rows[i+3].DelimitedText);
          }
          // Primer registro
          j := 4;
          aux := copy(milista.Strings[j+2], 28, 10);
          // Siguientes registros separados por ' '
          for j := 5 to milista.Count-3 do begin
            aux := aux + ' ' + copy(milista.Strings[j+2], 28, 10);
          end;
          // Escribo los valores separados por espacios
          WriteLn(F, aux);
        end;
        
        milista.Clear;
      end;
    finally
      milista.Free;
    end;

    // listafinal.SaveToFile(dirE+'final.txt');
    // Cierro fichero destino    
    CloseFile(F);
  except
    on e: Exception do
      ShowMessage('Error al crear fichero : ' + FileName + #13#10 + e.Message);
  end;
  
  // listafinal.Free;
end;