[[duilioisola]]

Yo trataría de escribir en el fichero destino directamente.
La forma más simple es AssignFile()..Rewrite()..Write()/WriteLn..CloseFile().

Además de esto, recuerda siempre utilizar los bloques try..finally y try..except.

Código Delphi [-]
procedure lector;
var
  i, j : integer;
  milista : TStringList;
  // listafinal : TStringList;
  s : string;
  F : TextFile;
  FileName : string;
begin
  // listafinal := TStringList.Create;
  // Abro el fichero destino
  FileName :=   dirE + 'final.txt';
  AssignFile(F, FileName);
  try
    // Si existe lo reescribo
    Rewrite(F);
    
    milista := TStringList.Create;
    try
      for i  :=  0 to form1.CheckListBox1.Count-1 do begin
        Application.ProcessMessages;
        
        if form1.CheckListBox1.Checked[i] then begin
          milista.LoadFromFile(form1.CheckListBox1.Items[i]);
          
          form1.stringgrid7.Cells[0, i+3] := inttostr(i+1);
          s := ExtractFileName(form1.checklistbox1.items.Strings[i]); 
          form1.stringgrid7.Cells[1, i+3] := copy(s, 0, 4);
          form1.stringgrid7.Cells[2, i+3] := inttostr(Juliana(copy(s, 0, 13)));
          form1.stringgrid7.Cells[3, i+3] := copy(s, 14, 4);
          form1.stringgrid7.rowCount := i+4;
          
          for j := 4 to milista.Count-3 do begin
            if i=0 then begin // pongo los encabezados de tabla
              form1.stringgrid7.colCount := j+1;
              form1.stringgrid7.Cells[j, 0] := inttostr(j-3-numX*trunc((j-4)/numX));
              form1.stringgrid7.Cells[j, 1] := inttostr( trunc((j-4)/numY)+1 );
              form1.stringgrid7.Cells[j, 2] := inttostr(j-3);
            end;
            
            form1.stringgrid7.Cells[j, i+3] := copy(milista.Strings[j+2], 28, 10);
          end;

          form1.stringgrid7.Rows[i+3].Delimiter := ' ';
          // listafinal.Add(form1.stringgrid7.Rows[i+3].DelimitedText);
          // Escribo la linea en el fichero destino
          WriteLn(F, form1.stringgrid7.Rows[i+3].DelimitedText);
        end;
        
        milista.Clear;
      end;
    finally
      milista.Free;
    end;

    // listafinal.SaveToFile(dirE+'final.txt');
    // Cierro fichero destino    
    CloseFile(F);
  except
    on e: Exception do
      ShowMessage('Error al crear fichero : ' + FileName + #13#10 + e.Message);
  end;
  
  // listafinal.Free;
end;