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Es que la idea no es heredarlo de tu form, sino del TAnimate... Si lees atentamente lo que he escrito anteriormente esta todo dicho!
Puedes crearlo en tiempo de ejecución si es que no quieres registrar un componente nuevo, haciendo algo como esto:

unit Unit1;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
  ComCtrls;

type
  TForm1 = class(TForm)
    Animate1: TAnimate;
    procedure FormCreate(Sender: TObject);
  private
    procedure MiAnimateClick(Sender: TObject);
  public
  end;

  TMiAnimate = class(TAnimate)
  published
    property OnClick;
  end;

var
  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.DFM}

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
var
  Animate1: TMiAnimate;
begin
  Animate1 := TMiAnimate.Create(Self);
  with Animate1 do
  begin
    Parent := Self;
    CommonAVI := aviCopyFile;
    OnClick := MiAnimateClick;
    Active := True;
  end;

end;

procedure TForm1.MiAnimateClick(Sender: TObject);
begin
  ShowMessage('Pum...!');
end;

end.

Y sinó puedes hacer un cast de tu TAnimate a TMiAnimate, va a funcionar pero no soy muy partidario de este tipo de prácticas

Saludos!