Hola,
creo que lo más fácil seria:
- creas un TStringList
- Cargas el fichero en el StringList con el método LoadFromFile
- Buscas la línea que quieres con el método IndexOf
- Si la encuentras borras la línea con el método Delete, al cual le pasas el índice que te ha devuelto IndexOf
- Finalmente reescribes el fichero de texto con el método SaveToFile del StringList.
Como ves te he dado los pasos y no el código, espero que no sea un problema. Si tienes alguna duda ya sabes
Suerte.