Eureka!!!!!!! Lo encontré.
Respondo para los que hayan tenido el mismo problema que yo.
He visto de casualidad una función de javascript (no sé ni donde la encontré) y al implementarla he podido llegar a la solución.
Si alguien más sabio sabe interpretarla que me la explique
He añadido una variable booleana para que solo lo haga una vez, ya que si se vuelve a ejecutar te saca del login.
Código Delphi
[-]
procedure TForm2.EdgeBrowser1NavigationCompleted(Sender: TCustomEdgeBrowser;
IsSuccess: Boolean; WebErrorStatus: TOleEnum);
begin
if (Unavez=false) then
begin
EdgeBrowser1.ExecuteScript('document.querySelector("input[type=text]").value="tunif22222222A";');
EdgeBrowser1.ExecuteScript('document.querySelector("input[type=password]").value="tupassword";');
EdgeBrowser1.ExecuteScript('document.querySelector("input[type=submit]").click();');
Unavez:=true;
end;
end;