El servidor donde "vive" MySQL siempre tiene que estar encendido y además el servicio ejecutándose correctamente. Tener los puertos correspondientes abiertos en el firewall de la conexión a Internet y contar con una IP pública visible a quien esté fuera la red donde se ubica el servidor. Ya en concreto con MySQL el usuario que uses para conectase tiene que tener permiso para acceder desde una red externa a la del servidor.
Todo lo que te respondo es intencionalmente de esta manera para que investigues y no te limites a que alguien te responda una pregunta concreta.
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