Viendolo rapidamente se me ocurre lo siguiente:
Supongamos que en el EditText2 este la palabra "prueba".
Este es tu codigo:
Código Delphi
[-]
qry.SQL.Text:='select * from PERSONAS where mdbmemo Like' + QuotedStr ('%' + Edit2.Text + '%');
El SQL.Text quedaria:
select * from PERSONAS where mdbmemo Like'%prueba%'
Según lo que veo, faltaria dejar un espacio luego del like... de todas maneras, para verificar esto, puedes crear una variable String e imprimirla con un ShowMessage, o debuggear y ver el contenido del SQL.Text.
Espero te haya servido, abrazo!