[*Caro*]

Hola elturu15 y bienvenido a clubdelphi, te da el error porque le estas dando como valor clave y clave1 y no así lo que tienes en tus variables.

Código Delphi [-]
  Clave:=integer(ComboBox1.Items.Objects[ComboBox1.ItemIndex]);
  Clave1:=integer(ComboBox2.Items.Objects[ComboBox2.ItemIndex]);

  ADOQuery1.Close;
  ADOQuery1.SQL.Clear;
  ADOQuery1.SQL.Text:='SELECT P.Clave, P.Nombre, C.Codigo_Postal, C.Nombre_Ciudad '+
                      'FROM Provincias P LEFT JOIN Ciudades C ON P.Clave = C.Clave_Provincia '+
                      'WHERE P.clave between '+IntToStr(clave)+' and '+IntToStr(clave1)+' order by Clave';
  ADOQuery1.Open;

Solo debes utilizar uno de los dos para ejecutar la consulta (Open o Active=True). Tambien puedes pasar valores a tu consulta utilizando parámetros.

Saluditos