Abundando en la explicación: Digamos que desarrollas un sistema para llevar el control de un inventario, tiene sus reportes, altas bajas, etc. etc. Es tan bueno tu sistema que decides que otros programas no hechos por tí puedan comunicarse con lo tu sistema por ejemplo para obtener datos de pedidos o alguna cosa similar.
Entonces desarrollas algunas funciones que hagan eso y las pones en una biblioteca (que puede ser una DLL). Entonces cualquier programador podrá usar tu función aún sin saber que hace internamente tu programa o como lo hace. El conjunto de funciones que crearías para lograr esa comunicación es la API.
Algunos tambien le llaman SDK (Software Developmet Kit).
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