A ver si aclaro algo en vez de complicarlo.
ZLib es una biblioteca para comprimir archivos, pero es como si tú hicieras el Winzip o Winrar, más o menos, tienes que programarlo todo. Lo bueno es que tu programa no depende de otras aplicaciones externas. Básicamente tienes:
- Que cerrar las tablas antes de empezar el proceso.
- buscar todos los archivos que forman la base de datos.
- pasar esos archivos al ZLib para que cree el archivo .zip y los meta dentro.
- fin y abrir las tablas de nuevo.
Aquí tienes un ejemplo, es algo complejo, pero creo que vale. En los trucos del foro tienes rutinas para buscar todos los archivos de una carpeta, lo necesitarás para sustituir el OpenFileDialog que se usa en ese ejemplo.
En esta otra web, tienes otras formas de comprimir, con código en delphi y posibilidad de incrustarlo en tu aplicación.
7-zip es igual a winzip pero gratuito, dispone de una linea de comando, es decir desde delphi haces una instrucción que lanza el compresor con la carpeta de las tablas y obtienes un archivo .zip, .rar o lo que quieras. En la ayuda de 7-zip viene un apartado llamado "Command Line Version", ahí es donde aprendes a construir la linea de comando. La desventaja es que debes instalar 7-zip en cada ordenador, pues lo necesita para hacer la copia de seguridad.
Recuerda: las prisas no son buenas consejeras (parece que estás agobiado)
Saludos