El error te sale porque al principio los edit están vaciós. Puedes solucionarlo así:
Código Delphi
[-]
If E1.Text='' then E1.Text:='0';
If E2.Text='' then E2.Text:='0';
If E3.Text='' then E3.Text:='0';
If E4.Text='' then E4.Text:='0';
If E5.Text='' then E5.Text:='0';
EditResultado.Text = IntToStr(StrToInt(E1.Text) + StrToInt(E2.Text) + StrToInt(E3.Text) + StrToInt(E4.Text) + StrToInt(E5.Text));
En cuanto a lo otro, a lo que se refiere es a lo siguiente: pones el código que te he dicho en el evento OnKeyPress de uno de los edits (en E1, por ejemplo). Depués, seleccionas los otros cuatro, te vas al inspector de objetos, a la pesataña de eventos, y en OnKeyPress seleccionas de la lista el que pongo Edit1KeyPress (o E1KeyPress, según hayas llamado al primer edit). Con eso lograrás que todos los Edits tengan el mismo procedure en el evento OnKeyPress.
Salu2.