El OnNotify se dispara cada que el TMediaPlayer termina de hacer algo, al Rebobinar, Adelantar, Después que termina de hacer un Play, Etc...
Quizá te sirva ese evento y lo puedas adecuar de alguna manera a tu necesidad, un ejemplo veloz seria el siguiente:
Deja el código que tenes así:
Código Delphi
[-]
form1.MediaPlayer1.DisplayRect:=form1.Panel1.ClientRect;
form1.MediaPlayer1.Play;
Y en el OnNotify debe quedar el resto:
Código Delphi
[-]
procedure TForm1.MediaPlayer1Notify(Sender: TObject);
begin
if form1.MediaPlayer1.position=form1.MediaPlayer1.length then
form1.Edit1.Visible:=true;
end;
Espero te sirva.