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Puedes usar un Timer pero deberás declarar el arreglo fuera del botón, por ejemplo, como variable del formulario:

Código Delphi [-]
TForm1 = class(TForm)
  Button1: TButton;
  Label1: TLabel;
  Timer1: TTimer;

  procedure Button1Click(Sender: TObject);
  procedure Timer1Timer(Sender: TObject);

private
  Personas: array of String; // arreglo de longitud variable
  Actual: Integer; // índice del elemento que toca mostrar
end

En Button1Click llenas el arreglo y activas el Timer:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  SetLength(Personas, 4);

  Personas[0] := 'Luis';
  Personas[1] := 'Juan';
  Personas[2] := 'Manuel';
  Personas[3] := 'José';

  Actual := 0;
  Timer1.Enabled := true;
end;

En el evento OnTimer actualizas la etiqueta:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);
begin
  Label1.Caption := Personas[Actual];

  // Siguiente persona
  Actual := (Actual + 1) mod Length(Personas);
end;

el mod es para que al llegar a la última persona (3 en este caso), el índice se regrese a 0.

La velocidad con la que aparezcan los nombres la controlas con la propiedad Interval del Timer (expresada en milisegundos). Así, si la pones en 500, el nombre cambiará cada medio segundo.

// Saludos