[roman]

Tu código:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
procedure CargaListaAnimales;
begin
with TIniFile.Create ('C:\archivo.ini') do
try
ReadSection ('ANIMALES', ListBox1.Items);
finally
Free;
end;
end;

function ObtieneNombreAnimal (Numero: Integer) : String;


Código indentado:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
  procedure CargaListaAnimales;
  begin
    with TIniFile.Create ('C:\archivo.ini') do
    try
      ReadSection ('ANIMALES', ListBox1.Items);
    finally
      Free;
    end;
  end;

function ObtieneNombreAnimal (Numero: Integer) : String;

Y aquí se ve más claro que falta el end del procedimiento Button1Click, suponiendo, claro, que la intención realmente era la de poner un pprocedimiento anidado. Quizá más bien querías poner:

procedure CargaListaAnimales;
begin
  with TIniFile.Create ('C:\archivo.ini') do
  try
    ReadSection ('ANIMALES', ListBox1.Items);
  finally
    Free;
  end;
end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  CargaListaAnimales;
end;

// Saludos