Obtener el nombre de la máquina local de Internet y la dirección IP
 

(De las Faq's de borland)

Obtener el nombre de la máquina local de Internet y la dirección IP es un proceso directo que es fácilmente obtenido usando el componente TCP. Simplemente vuelca un componente TCP desde la página de Internet de la paleta de componentes a un form, y accede a las siguientes propiedades del componente TCP.

Código Delphi [-]
Memo1.Lines.Add(TCP1.LocalHostName);

Memo1.Lines.Add(TCP1.LocalIp);

Si prefiere no usar el componente TCP aquí hay un ejemplo que une directamente con tu capa winsock

Código Delphi [-]
uses Winsock;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
var
  wVersionRequested : WORD;
  wsaData : TWSAData;
begin
   {Start up WinSock}
  wVersionRequested := MAKEWORD(1, 1);
  WSAStartup(wVersionRequested, wsaData);
end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  p : PHostEnt;
  s : array[0..128] of char;
  p2 : pchar;
begin
   {Get the computer name}
  GetHostName(@s, 128);
  p := GetHostByName(@s);
  Memo1.Lines.Add(p^.h_Name);
   {Get the IpAddress}
  p2 := iNet_ntoa(PInAddr(p^.h_addr_list^)^);
  Memo1.Lines.Add(p2);
end;

procedure TForm1.FormDestroy(Sender: TObject);
begin
   {Shut down WinSock}
  WSACleanup;
end;